Contoh-contoh aplikasi penggunaan aljabar linear dalam computer.          


APLIKASI
Contoh 1:
Selesaikan persamaan diferensial homogen y” = 0 yang memenuhi syarat awal y (1) = 1 dan y’ (1) = 2.
Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan persamaan diferensial diatas kita dapat langsung mengintegralkannya:
                         (1)
kemudian kita integralan lagi sehingga didapat :
               (2)
dengan syarat awal y (1) = 1 dan y’ (1) = 2, maka kita subtitusikan ke persamaan (1) dan  persamaan (2), diperoleh :
c₁ + c₂ = 1
c₁         = 2
didapat matrik yang diperbesar sebagai berikut:
dengan menggunakan OBE kita dapat menemukan nilai c₁ dan c₂, sebagaimana berikut:
sehingga didapat c₁ = 2 dan c₂ = -1.
maka penyelesaian khusus (particular solution) dari persamaan diferensial diatas adalah

y = 2x -1
Contoh 2:

(a)    Pecahkanlah sistem

y’₁ = -2y₁ + y₂
y’₂ = 4y₁  + y₂

(b)   Carilah pemecahan yang memenuhi kondisi-kondisi awal y₁(0) = 1, y₂ (0) = 6

Penyelesian:
(a)  Matrik koefisien untuk persamaan tersebut adalah
untuk mencari matrik P yang mendiagonalisasi A, maka kita cari vektor-vektor eigen dari A yang bebas linear.
maka polinom karakteristik dari A adalah
dan persamaan karakteristik dari A adalah 
Nilai-nilai eigennya didapat dari = (l - 2) (l + 3) = 0, maka nilai-nilai eigennya adalah    l = 2 dan l = -3.
menurut definisi,
adalah vektor eigen A yang bersesuaian dengan l, jika dan hanya jika x adalah pemecahan taktrivial dari (lI – A) = 0, yakni dari
Jika l = 2, maka
dengan OBE kita peroleh
diperoleh persamaan baru  , misal x₁ = t maka  x₂ = 4t.
sehingga
,
jadi,
adalah sebuah basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan l = 2.
Jika l = -3, maka
dengan OBE kita peroleh
diperoleh persamaan baru  , misal x₁ = t maka  x₂ = -t.
sehingga
,
jadi,
 adalah sebuah basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan l = -3.
jadi,
mendiagonalisasi A, dan
untuk memecahkan U’ = DU, kita subtitusi Y = PU dan Y’ = PU’ , yaitu
didapat pemecahannya adalah 
sehingga persamaan Y = PU menghasilkan Y sebagai pemecahan baru
atau

(b) Jika kita mensubtitusikan kondisi-kondisi awal yang diberikan ke dalam pemecahan umum (general solution) tersebut, kita dapatkan;

y₁ (0) = 1, maka c₁ + c_{2 = 1}
 y₂(0) = 6, maka 4c₁- c₁= 6
dengan OBE, kita dapat ,mencari nilai c₁ dan c₂
                      
dengan demikian c₁ =  dan c₂ = , sehingga dengan kondisi-kondisi awal diberikan penyelesaian kuhususnya atau particular solution adalah
Contoh 3 :
Pecahkanlah persamaa diferensial y” – y’ – 6y = 0.
Penyelesaian:
Persamaan diferensial ini mempunyai persamaan karakteristik
l² - l - 6 = 0
(l - 3) (l + 2) = 0
sehingga nilai karakteristiknya adalah l = 3 dan l = -2
jadi penyelesaian umumnya adalah
.
atau anda bisa dengan memisalkan y₁ = y, dan y₂ = y’ sehingga didapat sistem persamaan diferensial;

y’₁ = y₂

y’₂ = 6y₁ + y₂